Aplicação de numeros complexos 2ª parte

Potencia de 1 + i

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i ⁰ = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i ¹ = i

Conforme a regra dos números complexos:
i ² = – 1
i ³ = i² * i = (–1) * i = –i
i ⁴ = i² * i² = (–1) * (– 1) = 1
i ⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i ⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ * i = (–1) * i = – i
i ⁸ = i⁴ * i⁴ = 1 * 1 = 1
i⁹ = i⁸ * i = 1 * i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i ⁿ = i ^r
i ³⁴³ = i³, portanto i³⁴³ = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)⁶.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)²]³ =
[2² – 2 * 2 * (2i) + (2i)²]³
[4 – 8i + 4i²]³ =
[4 – 8i + 4 * (–1)]³ =
[4 – 8i – 4]³ =
[– 8i]³ =
– 512 * i³ =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2

Para calcularmos a seguinte soma: i 1993 + i 1994 + i 1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i ⁿ = i ^r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos restos, teremos:

i¹ + i² + i³ =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i¹⁹⁹³ + i¹⁹⁹⁴ + i¹⁹⁹⁵ = –1. 

Plano de Gauss

Por volta do século XV, os matemáticos tinham um único pensamento: "O quadrado de um número positivo, bem como o de um número negativo, é positivo. Um número negativo não é quadrado de nenhum número, pois não existe raiz quadrada de um número negativo”.
Raízes quadradas de números negativos continuavam aparecendo, e o que mais preocupava os matemáticos da época era que essas raízes, sendo desenvolvidas de acordo com as regras algébricas, forneciam resultados satisfatórios, que não podiam ser obtidos de outra forma.
Foi através de estudos relacionados aos matemáticos Wessel, Argand e Gauss, que muitos resolveram associar os números a e b de um complexo a coordenadas de um ponto no plano, criando assim uma representação geométrica para um complexo.

A criação dos números complexos revolucionou, de certa forma, a Matemática, pois se criava mecanismos para obtenção de resultados envolvendo a raiz quadrada de um número negativo, até então um mistério. Os complexos são formados por uma parte real (x) e outra imaginária (y), assumindo a seguinte forma algébrica: z = x + yi. O número complexo pode ser representado no plano através de um ponto Q de coordenadas (x, y), sobre o eixo x marcamos a parte real e sobre o eixo y a parte imaginária de z. O ponto Q deve receber o nome de afixo ou imagem geométrica de z.



Representando geometricamente um número complexo

a) z = 1 + i, A(1,1)
b) z = 3 + 2i, B(3,2)
c) z = -2 + 4i, C(-2,4)
d) z = -3 -4i, D(-3,-4)
e) z = 2 + 2i, E(2,2)
f) z = 4i, F(0,4)
g) z = -5, G(-5,0)

Questões:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i


02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i


03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

 
04.  Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

 
05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2


06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256


07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1


08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5


09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i.


10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x⁸ - 17x⁴ + 16 = 0.



Resolução:

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

 09. 3 - 2i; -3 + 2i

10. V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i}