Cássio Freitas, Cristiellen Gino, Patrick Allan (Os Produtores!)

sexta-feira, 16 de dezembro de 2011

Determinante

Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
Determinante de uma matriz quadrada
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
A=
a11
a12
a21
a22
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11 a22 - a21 a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
definimos o determinante de A, como:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Regra prática de Sarrus
Dada a matriz A de ordem 3:
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
Produto cor amarela
+a11a22a33
Produto cor verde
+a12a23a31
Produto cor azul
+a13a21a32
Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
Produto cor rosa
-a11a22a33
Produto cor bege
-a12a23a31
Produto cor khaki
-a13a21a32
O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.
Propriedades dos determinantes
Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.
  1. Se In é a matriz identidade, então:
det(In) = 1
  1. Se N é uma matriz nula, então:
det(N) = 0
  1. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
det(A) = 0
  1. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:
det(At) = det(A)
  1. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:
det(B) = k det(A)
  1. Se B=kA, onde k é um escalar, então:
det(B) = kn det(A)
  1. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)
  1. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
det(A) = 0
  1. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:
det(A) = 0
  1. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0
  1. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
  2. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.


Segue abaixo uma lista de exercícios resolvidos sobre DETERMINANTES.

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Sistema Linear


Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.
Exemplos:

x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0



Sistema Linear

Um conjunto de pequenas equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.
Exemplos:

x + y = 3
x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.


Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1


Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1

2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1



Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0



Classificação de um sistema linear


Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.


Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:
O sistema:
x + y = 3
x – y = 1

pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.
Matriz completa
1
1
3
1
-1
1
Matriz incompleta
1
1
1
-1

Exemplo 2
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Matriz completa
1
10
-12
120
4
-2
-20
60
-1
1
5
10
Matriz incompleta
1
10
-12
4
-2
-20
-1
1
5


Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10


Equação matricial do sistema:

Segue abaixo uma lista de exercícios resolvidos sobre SISTEMAS LINEARES.

Matrizes


As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:
, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

, matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

, matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:
, matriz quadrada de ordem 2 x 2.

, matriz quadrada de ordem 3 x 3.

, matriz quadrada de ordem 4 x 4.
Na matriz , temos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização:
O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna.
O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna.
O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna.
O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna.
Portanto, temos:
aij, onde i = linhas e j = colunas.
a11 = 2
a12 = 5
a21 = 7
a 22 = –9

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação aij = 3i + 2j.
Vamos escrever a matriz B dada por (aij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

Segue abaixo uma lista de exercícios resolvidos sobre MATRIZES.