Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
Determinante de uma matriz quadrada
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
A= | a11 | a12 |
a21 | a22 |
definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11 a22 - a21 a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
A= | a11 | a12 | a13 |
a21 | a22 | a23 | |
a31 | a32 | a33 |
definimos o determinante de A, como:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Regra prática de Sarrus
Dada a matriz A de ordem 3:
A= | a11 | a12 | a13 |
a21 | a22 | a23 | |
a31 | a32 | a33 |
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.
a11 | a12 | a13 | a11 | a12 |
a21 | a22 | a23 | a21 | a22 |
a31 | a32 | a33 | a31 | a32 |
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.
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Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.
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O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:
det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.
Propriedades dos determinantes
Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.
- Se In é a matriz identidade, então:
det(In) = 1
- Se N é uma matriz nula, então:
det(N) = 0
- Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
det(A) = 0
- A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:
det(At) = det(A)
- Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:
det(B) = k det(A)
- Se B=kA, onde k é um escalar, então:
det(B) = kn det(A)
- Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)
- Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
det(A) = 0
- Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:
det(A) = 0
- Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0
- Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.
- Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.
Segue abaixo uma lista de exercícios resolvidos sobre DETERMINANTES.
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